bilangan bulat

--> 

BUKU SISWA

Materi Pokok                    : Bilangan Bulat

Kelas                                 : VII

Semester                            : Ganjil

Standar Kompetensi         : 1. Melakukan operasi hitung bilangan serta dapat menggunakannya

                                                dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar             : 1.1 Menyelesaikan operasi bilangan bulat dan mengenal sifat operasi       

                                               bilangan bulat

BILANGAN BULAT

1. Pengertian Bilangan Bulat

                        Bilangan bulat terdiri dari atas himpunan bilangan bulat negatif { ..., -3, -2, -1}, nol {0}, dan himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3, 4, 5, ...}.

2. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat

a.      Penjumlahan pada Bilangan Bulat

1)      Penjumlahan dengan alat bantu

            Dalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapat digunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yang dijumlahkan digambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut.

            Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan. Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arah kiri.

2)      Penjmlahan tanpa alat bantu

a)      Kedua bilangan bertanda sama

      Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.

Contoh

a)      125 + 234 = 359

b)       Kedua bilangan berlawanan tanda

      Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yanga bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.

Contoh

a)      75 + (-90) = -(90-75) = -15

b.      Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

1)      Sifat tertutup

      Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

Contoh

a.       -16 + 25 = 9

-16 dan 25 merupakan bilangan bulat.

9 juga merupakan bilangan bulat.

2)      Sifat komutatif

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

Contoh

a.       6 + 5 = 5 + 6 = 11

3)      Mempunyai unsur identitas

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a.

4)       Sifat asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

Contoh

a.       (4 + (-5)) + 6 = -1 + 6

    = 5

                             4 + ((-5) + 6)  = 4 + 1

                                                    = 5

                             Jadi, (4 + (-5)) + 6 = 4 + ((-5 +6).

5)       Mempunyai invers

Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a adalah a.

c.       Pengurangan pada Bilangan Bulat

1)      Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlaku a – b = a + (-b).

Contoh

a.       7 – 9 = 7 + (-9) = -2

2)      Pengurangan dengan alat bantu

Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

d.      Perkalian pada Bilangan Bulat

Jika n adalah sebarang bil;angan bulat positif maka n x a = a + a + a + … + a

1)      Menghitung hasil perkalian bilangan bulat

Jika p dan q adlah bilangan bulat maka

a.       p x q = pq;

b.      (-p) x q = -(p x q)= -pq;

c.       p x (-q) = -(p x q) = -pq;

d.      (-p) x (-q) = p x q = pq.

2)      Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat

a.      Sifat  tertutup

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selaku berlaku p x q = r dengan r juga bilangan bulat.

b.      Sifat komutatif

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku p x q = q x p.

c.       Sifat asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku (p x q) x r = p x ( q x p).

d.      Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku                                              p x (q + r) = (p x q) + (p x r).

e.       Sifat distributif  perkalian terhadap pengurangan

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku                                                     p x (q – r) = (p x q) – (p x r).

f.        Memiliki elemen identitas

Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku p x 1 = 1 x p = p. elemen identitas pada perkalian adalah 1.

e.       Pembagian Bilangan Bulat

1)      Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian

Jika p, q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, dan q ≠ 0 maka berlaku                                  p : q = r p = q x r.

2)      Menghitung hasil pembagian bilangan bulat

Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q ≠ 0 dan memenuhi p : q = r berlaku

(i)Jika p, q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif;

(ii)jika p, q berlainantanda, r adalah bilangan negative.

3)      Pembagian dengan bilangan nol

Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a ; a ≠ 0.

4)      Sifat pembagian pada bilangan bulat

Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

f.       Opersi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat

Apabila dalam suatu operasi hitung bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasrkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

1)      Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiridikerjakan terlebih dahulu.

2)      Operasi perkalian (x) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

3)      Operasi perkalian (x) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-), artinya operasi perkalian (x) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-).

Contoh

Tentukan hasil dari operasi hitung berikut ini.

a.       24 + 56 x 42 – 384 : 12

Penyelesaian :

a.       24 + 56 x 42 – 384 : 12

= 24 + (56 x 42) – (384 : 12)

= 24 + 2.352 – 32

= 2.376 – 32

= 2.344

4. Menaksir Hasil Perkalian dan Penbagian Bilangan Bulat

Hasil pembulatan atau taksiran diperoleh dengan cara berikut.

a.       Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat.

1)      Jika angka satuannya kurang dari 5, angka tersebut tidak dihitung atau dihilangkan.

2)      Jika angka satuannya lebih dari atau sama dengan 5, angka tersebut dibulatkan ke atas menjadi puluhan.

b.      Untuk pembulatan ke angka ratusan terdekat

1)      Jika angka puluhannya kurang dari 5, angka puluhan dan satuan dihilangkan.

2)      Jika angka puluhannya lebih dari atau sama dengan 5, angka puluhan tersebut dibulatkan ke atas menjadi ratusan.

Aturan pembulatan tersebut juga berlaku untuk pembulatan ke angka ribuan terdekat, puluh ribuan terdekat, dan seterusnya.

Contoh

1.      Tentukan tajsiran pada hasil perhitungan berikut ke angka puluhan terdekat.

a.       37 x 19

b.      118: 24

c.       2.463 : 31

Penyelesaian :

a.       37 x 19 = 40 x 20 = 800

b.      118 : 24 = 120 : 20 = 6

c.       2.463 : 31 = 2.460 : 30 = 82

5. Kelipatan dan Faktor

a.      Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif

      Jika k anggota A = 1, 2, 3, … maka kelipatan-kelipatan dari k adalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A.

Contoh

a.       Tentukan semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30;

Penyelesaian :

a.       Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 sebagai berikut.

1 x 2 = 2                6 x 2 = 12                    11 x 2 = 22

2 x 2 = 4                7 x 2 = 14                    12 x 2 = 24

3 x 2 =6                 8 x 2 = 16                    13 x 2 = 36

4 x 2 = 8                9 x 2= 18                     14 x 2= 28

5 x 2 = 10              10 x 2 = 20                 

Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,16,18,20,22,24,26,28.             

b.       Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan atau Lebih

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.

Contoh

Tentukan KPK dari 2, 3, dan 4.

Penyelesaian :

Bilangan asli kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,16,18,20,22,24… 

Bilangan asli kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12,15,18,21, 24,….

Bilangan asli kelipatan 4 adalah 4,8,12,16,20,24,…

Kelipatan persekutuan dari 2, 3, dan 4 adalah 12,24, …

Jadi, KPK dari 2, 3, dan 4 adalah 12.

     

c.       Faktor  Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yang apabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengan k. factor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adlah bilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut.            

Contoh

a.       Tentukan semua factor dari 25.

Penyelesaian :

1 x 25 = 25

5 x 5 = 25

Semua faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.

d.       Menentukan KPK dan FPB dari Dua Bilangan atau Lebih dengan Memfaktorkan

Perkalian semua faktor-faktor prima dari suatu bilangan disebut faktorisasi prima.

Contoh

Tentukan KPK dan FPB dari 36 dan 40 dengan cara memfaktorkan.

Penyelesaian :

36 = 2² x 3²

40 = 2³  x 5

      Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 36 dan 40 diperoleh dengan mengalikan semua faktor. Jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, seperti 2² dan 2³, pilih pangkat yang tertinggi yaitu 2³. Jadi, KPK dari 36 dan 40 = 2³ x 3² x 5 = 360.

      Adpun Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 36 dan 40 diperoleh dengan mengalikan faktor dengan bilangan pokok yang sama dengan pangkat terendah. Jadi, FPB dari 36 dan 40 = 2² = 4.

e.       Pengertian Perpangkatan Bilanagan

Pⁿ = p x p x p x … x p                  

                    Contoh

                        Tentukan hasil perpangkatan bilangan-bilangan berikut ini.

a.       9²

                     Penyelesaian :

a.       9² = 9 x 9

 = 81

f.        Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

1)      Sifat perkalian bilangan berpangkat

p^m  x pⁿ = p^{m + n}

2)      Sifat pembagian bilangan berpangkat

p^m : pⁿ = p^{m – n}

3)      Sifat perpangkatan bilangan berpangkat

(p^m)ⁿ = p^{m x n}

4)       Sifat perpangkatan suatu perkalian atau pembagian

(p x q)^m = p^m x q^m

Contoh

Sederhanakan bentuk pangkat berikut.

a.       4⁴ x 4² : 4³

                        Penyelesaian :

a.       4⁴ x 4² : 4³ = (4⁴ x 4²) : 4³

= 4^{4 + 2} : 4³

= 4⁶ : 4³

= 4^{6 – 3}

= 4³

g.      Kudrat dan Akar Kuadrat serta Pangkat Tiga dan Akar Pangkat Tiga

a.       Kuadrat dan akar kuadrat bilangan bulat

A² = b sama artinya dengan √b = a.

Contoh

Tentukan nilai berikut ini.

1.      √16

                        Penyelesaian :

1.      √16 = 4, karena 4² = 4 x 4 = 16

b.      Pangkat tiga dan akar pangkat tiga

a³ = a x a x a

6. Penggunaan Operasi Hitung Bilangan Bulat untuk Menyelesaikan Masalah

Contoh

1.      Pada percobaan fisika, seorang siswa melakukan pengukuran suhu pada sebongkah es. Suhu es tersebut mula-mula -5°C. Setelah dipanaskan, es berubah menjadi air yang bersuhu 3°C. Berapakah kenaikan suhu es tersebut hingga manjadi air ?

                        Penyelesaian :

                   Suhu es mula-mula adlah -5°C. Setelah dipanaskan, es berubah menjadi air yang bersuhu 3°C. artinya, suhu es mengalami kenaikan, yaitu selisih suhu terakhir dengan suhu mula-mula. Misalkan kenaikan suhu es tersebut = t, maka kondisi ini dapat dituliskan sebagai                   t = 3 – (-5) = 8. Jadi, suhu es naik 8°C hingga berubah menjadi air.